债券到期时间对价格的影响「债券价格的变化与债券收益率的变化」

在二级固定收益的学习中，我们学过这样一个性质：平价发行的债券，只有改变到期日的par rate，才会对债券价格产生影响。改变其他年份的par rate,对债券价格不产生影响。

很多同学都对这条性质产生过疑问，那么今天我们就来证明它。

1、知识点回忆：

用bootstrapping的方法将par rate curve转化为spot rate curve。

在这个过程中，我们先确定短期的spot rate，再确定长期的spot rate.

我们可以分两步来证明这个问题：

2、第一步：

首先证明，对于平价发行的债券，改变除到期日之外的par rate，债券价格不变。

为了便于理解，我们用Pn、Dn和Sn表示期限为n年，本金为1的债券的par rate，discount factor和spot rate。

先写出Pn的定义式：

现在我们改变除了第n年外的所有par rate，也就是说从P1到Pn-1都变成了P1*、P2*……Pn-1*。当par rate发生改变的时候，由于par rate curve和spot rate curve的关系，spot rate和discount rate也都相应发生了改变，变为了Sn*和Dn*。

在这种情况下，我们再次写出Pn的定义式。

由于我们没有改变Pn，所以上式是一定存在并且成立的。

接下来，我们写出改变除了第n年外的所有par rate后，计算本金为1，期限为n年，平价发行的债券价格的公式。（Cn表示n年期债券的票面利率）

由于债券平价发行，所以债券的coupon rate = Pn：

此时，债券的价格仍旧为1。

也就是说，当我们改变了除了第n年外的所有par rate时，平价发行的债券价格保持不变。

#Q.E.D

3、第二步：

从我们的证明过程可以看出来，由于没有改变Pn，无论如何在P1到Pn-1中进行变化，总会有D1*到Dn*相应变化，使得

始终成立。而由于债券平价发行，其coupon rate = Pn，造成其价格计算公式与上式的右侧始终相同，最终导致债券价格保持不变。

第二步，我们来证明对于平价发行的债券，改变Pn，债券价格会发生改变。

在用bootstrapping的方法将par rate curve转化为spot rate curve时，是一个从前往后的过程，先算出S1，然后依次算出S2、S3 …… Sn.

为了方便理解，我们把上述公式都用Discount factor表示：

在只有Pn变为Pn*的情况下，P1到Pn-1都是不变的。

因为P1不变，所以D1不变；

因为P2不变，D1不变，所以D2不变；

以此类推……

因为Pn-1不变，D1、D2 …… Dn-2不变，所以Dn-1不变。（Bootstrapping分析法）

因为Pn变为Pn*，D1、D2 …… Dn-1不变，所以Dn变为了Dn*。

在这种情况下，我们写出Pn的定义式。

解出Dn*，

对于本金为1，期限为n年，平价发行的债券，它的价格将为（Cn表示n年期债券的票面利率）

由于债券平价发行，所以债券的coupon rate = Pn：

代入Dn*，

我们从公式可以看出，当且仅当Pn- Pn*=0时，price=1；

若Pn<Pn*，也就是Pn增大，那么Price<1，债券价格降低，债券价格与利率变动呈反向关系，久期为正。

若Pn>Pn*，也就是Pn减小，那么Price>1，债券价格升高，债券价格与利率变动呈反向关系，久期为正。

所以，无论Pn是变大还是变小，平价发行的债券价格都会发生改变。

以上两种情况，债券价格与利率变动呈反向关系，久期为正的情况。而在特殊条件下，久期也有可能为负，那究竟在什么情况下久期为负，为什么会为负呢？请关注我们接下来的推文。